Notizie in Controluce

È necessario, a questo punto, porre in evidenza il sottile legame che collega il numero d’oro (e indirettamente, quindi, la spirale aurea) alla successione numerica di Fibonacci: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, … nella quale, come è noto, ciascun termine si ottiene addizionando i due termini immediatamente precedenti, secondo la formula di ricorrenza u_n = u _n-1 + u _n-2 .  Se nella successione di Fibonacci si considerano i rapporti fra ogni termine e il precedente, si ottiene un’altra successione numerica che, dopo alcune piccole oscillazioni, si avvicina sempre più al numero aureo 1,618… :

1/1=1 2/1=2 3/2=1,5 5/3=1,666… 8/5=1,6 13/8=1,625 21/13=1,615348 34/21=1,61904 55/34=1,61764 89/55=1,61818 ……….

Ovvero, in termini matematici, il numero aureo Φ risulta essere il limite cui tende indefinitamente la successione dei rapporti fra due numeri consecutivi della successione di Fibonacci. Questa, pertanto, al tendere all’infinito dei suoi termini, tende a diventare una progressione geometrica di ragione Φ. Per tale motivo essa viene detta anche progressione di Fibonacci.

Un altro “oggetto” collegato strettamente al numero d’oro, ai numeri di Fibonacci e alla spirale aurea è il cosiddetto rettangolo aureo: un rettangolo nel quale il rapporto fra i due lati consecutivi è uguale al numero d’oro Φ. Il rettangolo aureo ha la proprietà dell’autosomiglianza, ovvero conserva la propria forma se si addiziona ad esso un quadrato di lato pari alla sua dimensione maggiore o se si sottrae da esso un quadrato di lato pari alla sua dimensione minore: in entrambi i casi, infatti, si mantiene costante, e uguale a Φ, il rapporto fra i due lati consecutivi del rettangolo così ottenuto.

Della spirale aurea Ottaviano considera la costruzione approssimata tramite il rettangolo aureo, già presente in alcuni lavori di Jay Hambidge e di John Crawford Pierce,[1] e fa rilevare esplicitamente che essa è costituita di quarti di circonferenza raccordati tangenzialmente e aventi raggi che si incrementano secondo la successione di Fibonacci.

La curva così costituita è da lui assunta come curva della bellezza.

I successivi rettangoli aurei utilizzati per la sua costruzione sono stati ottenuti ciascuno sommando al precedente un quadrato di lato pari al lato maggiore del rettangolo aureo. Per esempio, il rettangolo aureo AEFD è ottenuto sommando al rettangolo aureo BEFC il quadrato ABCD di lato uguale al lato maggiore BC del rettangolo BEFC. È facile verificare che ogni arco circolare che compone la spirale ha raggio uguale alla somma dei raggi dei due archi precedenti. Per esempio, l’arco AC ha raggio BC = BG + GC = LI + GC (essendo BG = LI) e così via. Inoltre, i raggi degli archi circolari componenti costituiscono una progressione geometrica avente come ragione il numero aureo: infatti il rapporto fra due raggi consecutivi è il rapporto fra i lati consecutivi di un rettangolo aureo. Per esempio, BC/GH = Φ, essendo BC e BE = GH i lati maggiore e minore del rettangolo aureo BEFC.

Ottaviano, in quanto filosofo, non si accontenta di trovare i nessi causali tra i fenomeni e s’interroga sul perché ultimo di tali stessi nessi: se tutto il mondo organico e inorganico segue una legge della bellezza, perché ciò deve accadere necessariamente? E qui è il filosofo che cerca le ragioni ultime delle cose.

 La progressione addizionale – ovvero la generica successione numerica generata dalla formula di ricorrenza u_n = u _n-1 + u _n-2 – è per Ottaviano, in ultima analisi, la vera legge matematica della bellezza, nella sua forma aritmetica. Infatti, in “tutte le progressioni addizionali” – ed è questa una sua scoperta originale – il rapporto fra un termine e il precedente tende indefinitamente al numero aureo. Ottaviano considera – in aggiunta a quella di Fibonacci – altre tre diverse progressioni addizionali, costruite rispettivamente a partire dalle coppie di numeri 1 e 3, 1 e 4, 1 e 5: per ciascuna mostra che il rapporto fra un termine e il precedente (in realtà considera, in maniera equivalente, il rapporto inverso) tende a stabilizzarsi sul numero aureo da un certo termine della successione dei rapporti in poi (rispettivamente dal 13mo, 14mo rapporto), come nella progressione di Fibonacci (dal 14mo rapporto). Dunque «tutte le progressioni addizionali sono da considerare come espressioni successivamente approssimate della relazione designata con il termine di sezione aurea di un segmento». È questo particolare modo di divisione dell’unità in parti disuguali che costituisce l’essenza della legge della bellezza nella sua espressione aritmetica.

Ma perché la natura, e inconsapevolmente l’uomo nell’uniformarsi a questa legge naturale e quindi universale, fra gli infiniti modi di dividere l’intero in parti disuguali sceglie proprio il dividere secondo la “media ed estrema ragione”, propria della sezione aurea? Ottaviano trova la ragione di ciò nella conservazione di una simmetria (dinamica) pur nella diversità delle parti, cioè nel ripetersi sempre identico a se stesso del procedimento di divisione:

«Questo è l’unico modo razionale secondo cui si possa dividere un segmento in due parti disuguali, essendo un procedimento simmetrico, cioè che si ripete identico a intervalli regolari, pur variando la grandezza degli elementi tra cui esso si pone. Dividendo invece il segmento secondo qualsiasi altro procedimento, si ottiene una varietà di risultati non retti da alcuna simmetria, cioè si ottiene una molteplicità disordinata, caotica». [2]

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[1] Cfr. J.Hambidge, The Elements of Dynamic Symmetry, New Haven, Yale University Press, 1926. Agli studi dell’Hambidge (oltre che al numero aureo) si riferisce ampiamente Ugo Maraldi in un suo articolo intitolato Il numero della bellezza, in «L’Illustrazione del Medico», gennaio 1954, pp. 22-24; cfr. anche J. C. Pierce, The Fibonacci Series. In «Scientific Montly», October 1951, pp. 224-228.

[2] C. Ottaviano, La legge della bellezza come legge universale della natura, op. cit., p. 44.