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Le spirali sono curve aperte illimitate in un senso, che si possono pensare descritte da un punto che da una posizione iniziale, detta polo, ruota indefinitamente attorno ad essa allontanandosene contemporaneamente lungo la congiungente. Esistono diversi tipi di spirale che si differenziano per la legge di allontanamento del punto corrente dal polo.

Archimede fu il primo a scoprire questo particolare tipo di curve, pare osservando la

tela di un ragno, la quale, però, in realtà si sviluppa secondo una spirale logaritmica, diversa, come vedremo, da quella da lui scoperta. Nella spirale di Archimede la distanza del punto corrente dal polo (raggio vettore) varia proporzionalmente all’angolo di rotazione (anomalia), per modo che la sua equazione in coordinate polari, assumendo il polo coincidente con l’origine, è ρ= a θ, essendo “a” una costante, ρ il raggio vettore e θ l’anomalia. Ne segue che ad ogni giro completo attorno al polo la curva subisce un incremento radiale costante pari a 2πa, ovvero le spire sono equidistanziate lungo lo stesso raggio. Dunque, la costante “a” regola la distanza radiale fra spire successive.

Un altro tipo di spirale, molto più diffuso in natura, è la spirale logaritmica, la cui equazione in coordinate polari è ρ = a e^bθ, che in forma logaritmica si scrive:

θ = (1/b) ln (ρ/a)

da cui il nome assegnatole dal matematico Pierre Varignon (1654-1722). Una proprietà caratteristica di queste spirali è l’inclinazione costante rispetto a qualunque retta uscente dal polo (la spirale logaritmica, per tale motivo, è detta anche “spirale equiangola”). In altri termini, la tangente alla spirale logaritmica, in ogni suo punto, mantiene la stessa inclinazione rispetto alla congiungente il punto con il polo della spirale. L’inclinazione della spirale logaritmica è regolata dal parametro “b”ed è: arctan (1/ln b).

La spirale aurea è un particolare tipo di spirale logaritmica essendo per essa b = Φ = 1,618… La distanza radiale fra le spire successive della spirale aurea aumenta secondo una progressione geometrica di ragione e^2πΦ, cioè è costante e uguale a e^2πΦ il rapporto fra le distanze dei punti della spirale situati in due spire successive e di uguale anomalia (modulo 2π). Per tale motivo la spirale logaritmica è detta anche “spirale proporzionale”. Il suo aspetto è quindi nettamente diverso da quello della spirale di Archimede, perché le spire in essa si allontanano fra loro progressivamente.

Il numero Φ è il cosiddetto numero d’oro. Considerato un segmento qualunque, esiste un solo modo per dividerlo in due parti (disuguali) tali che il rapporto fra l’intero segmento e la parte maggiore uguagli il rapporto fra quest’ultima e la restante parte minore del segmento: tale rapporto è detto numero aureo. Quando ciò si realizza si dice che si è effettuata una “sezione aurea” del segmento. In altri termini, si può affermare anche che la sezione aurea è una divisione del “tutto”(il segmento intero) in parti tali che il “tutto sta alla parte maggiore come questa sta alla parte minore”. All’inizio del Novecento, il numero aureo è stato indicato con la lettera greca Φ dal matematico Mark Barr , in onore di Fidia (Φ è la lettera iniziale del suo nome in greco) il quale, secondo la tradizione, fu il leggendario architetto del Partenone, le cui proporzioni sembrano rispettare proprio tale numero.

Il valore di Φ può essere facilmente ottenuto come radice positiva dell’equazione x² – x – 1 = 0, che deriva dalla definizione stessa della sezione aurea di un segmento. Infatti, se assumiamo come incognita x la lunghezza dell’intero segmento e unitaria la lunghezza della parte maggiore, la definizione della sezione aurea si traduce nella seguente proporzione, che il matematico fra’ Luca Pacioli (1445-1514) denominò «divina»:

x : 1 = 1: (x – 1)

da cui:

x (x – 1) = 1

e infine:

x² – x – 1 = 0.

Le due radici di questa equazione di 2° grado, come è noto, sono:

x₁, x₂ = [1 ± rad (1+4)] / 2 = ( 1 ± rad 5) / 2

La radice positiva è il numero aureo poiché il suo valore, per le assunzioni fatte, coincide proprio con il rapporto fra l’intero segmento e la sua parte maggiore (x : 1 = x):

Φ = ( 1 + rad 5) / 2

In realtà anche la radice negativa è accettabile: essa corrisponde a un punto esterno all’intero segmento che lo divide esternamente secondo la proporzione aurea.

Questo numero appartiene alla famiglia dei numeri irrazionali, cosiddetti perché non esprimibili come rapporti (ratio) fra numeri interi. Di conseguenza la sua forma decimale risulta contenere infinite cifre decimali prive di periodicità: Φ = 1,6186180339887…Ci si deve allora accontentare di un valore decimale approssimato, normalmente limitato alla terza cifra decimale Φ = 1, 618….